Алгоритм умножения октонионов

Автор(и)

  • Александр Павлович Царёв Западно-поморский технологический университет, Польща
  • Галина Д. Царёва Западно-поморский технологический университет, Польща

DOI:

https://doi.org/10.20535/S0021347012100056

Ключові слова:

гиперкомплексные числа, октонион, быстрый алгоритм умножения октонионов, hypercomplex numbers, octonion, fast algorithm for multiplying octonions

Анотація

Рассмотрены алгоритмические аспекты рационализации вычислений произведения октонионов, представляющих собой наряду с кватернионами, разновидность гиперкомплексных чисел. Достоинством предлагаемого алгоритма является уменьшенное вдвое количество необходимых для вычисления произведения октонионов умножений действительных чисел по сравнению с непосредственным, наивным способом вычислений. При синтезе обсуждаемого алгоритма использован тот факт, что операция умножения октонионов может быть представлена в виде векторно-матричного произведения. Такое представление дало возможность обнаружить в структуре матрицы-сомножителя повторяющиеся элементы и, используя специфичные свойства их взаимного расположения, сократить количество умножений действительных чисел при вычислении произведения октонионов.

Посилання

Кантор, И. Л.; Солодовников, А. С. Гиперкомплексные числа. М.: Наука, 1973. 144 с.

Синьков, М. В.; Бояринова, Ю. Е.; Калиновский, Я. А. Конечномерные гиперкомплексные числовые системы. Основы теории. Применения. К.: ИПРИ НАН Украины, 2010. 389 с.

Malekian, E.; Zakerolhosseini, A. "NTRU-like public key cryptosystems beyond dedekind domain up to alternative algebra," Trans. Computational Science X, p. 25–41, 2011. DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-642-17499-5_2.

Bulow, T.; Sommer, G. "Hypercomplex signals-a novel extension of the analytic signal to the multidimensional case," IEEE Trans. Signal Process., Vol. 49, No. 11, p. 2844–2852, Nov. 2001. DOI: https://doi.org/10.1109/78.960432.

Alfsmann, D. J. "On families of 2N-dimensional hypercomplex algebras suitable for digital signal processing," Proc. of 14th European Signal Processing Conf., 4-8 Sept. 2006, Florence, Italy. IEEE, 2006. URI: https://ieeexplore.ieee.org/document/7071458.

Alfsmann, D.; Göckler, H. G.; Sangwine, S. J.; Ell, T. A. "Hypercomplex algebras in digital signal processing: Benefits and drawbacks," Proc. of 15th European Signal Processing Conf., 3-7 Sept. 2007, Poznań, Poland. IEEE, 2007, p. 1322–1326. URI: https://ieeexplore.ieee.org/document/7099020.

Sangwine, S. J.; Le Bihan, N. "Hypercomplex analytic signals: Extension of the analytic signal concept to complex signals," Proc. of 15th European Signal Processing Conf., 3-7 Sept. 2007, Poznań, Poland. IEEE, 2007, p. 621–624. URI: https://ieeexplore.ieee.org/document/7098877.

Moxey, C. E.; Sangwine, S. J.; Ell, T. A. "Hypercomplex correlation techniques for vector images," IEEE Trans. Signal Process., Vol. 51, No. 7, p. 1941–1953, July 2003. DOI: https://doi.org/10.1109/TSP.2003.812734.

Bayro-Corrochano, E. "Multi-resolution image analysis using the quaternion wavelet transform," Numer. Algor., Vol. 39, Nos. 1-3, p. 35–55, July, 2005. DOI: https://doi.org/10.1007/s11075-004-3619-8.

Shi, L.; Funt, B. "Quaternion colour texture segmentation," Computer Vision and Image Understanding, Vol. 107, No. 1-2, p. 88–96, 2007. DOI: https://doi.org/10.1016/j.cviu.2006.11.014.

Kavan, L.; Collins, S.; Žára, J.; O’Sullivan, C. "Skinning with dual quaternions," Proc. of Symp. on Interactive 3D Graphics and Games, 2007, p. 1–23. DOI: http://doi.org/10.1145/1230100.1230107.

Calderbank, R.; Das, S.; Al-Dhahir, N.; Diggavi, S. N. "Construction and analysis of a new quaternionic space-time code for 4 transmit antennas," Commun. Information Syst., Vol. 5, No. 1, p. 1–26, 2005. DOI: http://doi.org/10.4310/CIS.2005.v5.n1.a4.

Belfiore, J.-C.; Rekaya, G. "Quaternionic lattices for space-time coding," Proc. of IEEE Information Theory Workshop, 31 Mar-4 Apr 2003, ITW, Paris, France. IEEE, 2003. DOI: https://doi.org/10.1109/ITW.2003.1216745.

Ertuğ, Ö. "Communication over hypercomplex Kahler manifolds: Capacity of dual-polarized multidimensional-MIMO channels," Wireless Personal Commun., Vol. 41, No. 1, p. 155–168, April 2007. DOI: https://doi.org/10.1007/s11277-006-9135-5.

Макаров, О. М. "Алгоритм умножения двух кватернионов," ЖВММФ, Т. 17, № 6, С. 1574 –1575, 1977.

Росошек, С. K.; Литвин, A. И.; Черняева, Н. E. "Быстрый алгоритм произведения двух гиперкомплексных чисел," Вестник ТГУ. Серия: Математика. Кибернетика. Информатика, № 269, С. 66–68, 2000.

Ţariov, A.; Ţariova, G. "Aspekty algorytmiczne organizacji ukladu procesorowego do mnozenia liczb Cayleya," Elektronika, No. 11, p. 137–140, 2010.

Ţariov, A. "Strategie racjonalizacji obliczen przy wyznaczaniu iloczynow macierzowo-wektorowych," Metody Informatyki Stosowanej, No. 1, p. 147–158, 2008.

Ţariov, А. Algorytmiczne Aspekty Racjonalizacji Obliczen w Cyfrowym Przetwarzaniu Sygnalow. Wydawnictwo "Metody Informatyki Stosowanej" Komisji Informatyki Gdanskiego Oddzialu PAN, 2011. 232 s.

##submission.downloads##

Опубліковано

2012-10-13

Як цитувати

Царёв, А. П., & Царёва, Г. Д. (2012). Алгоритм умножения октонионов. Вісті вищих учбових закладів. Радіоелектроніка, 55(10), 44–54. https://doi.org/10.20535/S0021347012100056

Номер

Том 55 № 10 (2012)

Розділ

Оригінальні статті

Ліцензія

Авторське право (c) 2012 Известия высших учебных заведений. Радиоэлектроника

Издатель журнала Известия высших учебных заведений. Радиоэлектроника (сокр. "Известия вузов. Радиоэлектроника"), Национальный технический университет Украины "Киевский политехнический институт", учитывает, что доступ автора к его статье является важным как для самого автора, так и для спонсоров его исследований. Мы представлены в базе издателей SHERPA/RoMEO как зеленый издатель (green publisher), что позволяет автору выполнять самоархивирование своей статьи. Однако важно, чтобы каждая из сторон четко понимала свои права. Просьба более детально ознакомиться с Политикой самоархивирования нашего журнала.

Политика оплаченного открытого доступа POA (paid open access), принятая в журнале, позволяет автору выполнить все необходимые требования по открытому доступу к своей статье, которые выдвигаются институтом, правительством или фондом при выделении финансирования. Просьба более детально ознакомиться с политикой оплаченного открытого доступа нашего журнала (см. отдельно).

Варианты доступа к статье:

1. Статья в открытом доступе POA (paid open access)

В этом случае права автора определяются лицензией CC BY (Creative Commons Attribution).

2. Статья с последующим доступом по подписке

В этом случае права автора определяются авторским договором, приведенным далее.

  • Автор (каждый соавтор) уступает Издателю журнала «Известия высших учебных заведений. Радиоэлектроника» НТУУ «КПИ» на срок действия авторского права эксклюзивные права на материалы статьи, в том числе право на публикацию данной статьи издательством Аллертон Пресс, США (Allerton Press) на английском языке в журнале «Radioelectronics and Communications Systems». Передача авторского права охватывает исключительное право на воспроизведение и распространение статьи, включая оттиски, переводы, фото воспроизведения, микроформы, электронные формы (он- и оффлайн), или любые иные подобные формы воспроизведения, а также право издателя на сублицензирование третьим лицам по своему усмотрению без дополнительных консультаций с автором. При этом журнал придерживается Политики конфиденциальности.
  • Передача прав включает право на обработку формы представления материалов с помощью компьютерных программам и систем (баз данных) для их использования и воспроизводства, публикации и распространения в электронном формате и внедрения в системы поиска (базы данных).
  • Воспроизведение, размещение, передача или иное распространение или использование материалов, содержащихся в статье должно сопровождаться ссылкой на Журнал и упоминанием Издателя, а именно: название статьи, имя автора (соавторов), название журнала, номер тома, номер выпуска, копирайт авторов и издателя "© Национальный технический университет Украины "Киевский политехнический институт"; © автор(ы)".
  • Автор (каждый соавтор) материалов сохраняет все права собственника материалов, включая патентные права на любые процессы, способы или методы и др., а также права на товарные знаки.
  • Издатель разрешает автору (каждому соавтору) материалов следующее:
  1. Право пользоваться печатными или электронными вариантами материалов статьи в форме и содержании, принятыми Издателем для публикации в Журнале. Подробнее см. политики Оплаченного открытого доступа, подписки и самоархивирования.
  2. Право бесплатно копировать или передавать коллегам копию напечатанной статьи целиком или частично для их личного или профессионального использования, для продвижения академических или научных исследований или для учебного процесса или других информационных целей, не связанных с коммерческими целями.
  3. Право использовать материалы из опубликованной статьи в написанной автором (соавторами) книге, монографии, учебнике, учебном пособии и других научных и научно-популярных изданиях.
  4. Право использовать отдельные рисунки или таблицы и отрывки текста из материалов в собственных целях обучения или для включения их в другую работу, которая печатается (в печатном или электронном формате) третьей стороной, или для представления в электронном формате во внутренние компьютерные сети или на внешние сайты автора (соавторов).
  • Автор (соавторы) соглашаются, что каждая копия материалов или любая ее часть, распространенная или размещенная ими в печатном или электронном формате, будет содержать указание на авторское право, предусмотренное в Журнале и полную ссылку на Журнал Издателя.
  • Автор (соавторы) гарантирует, что материалы являются оригинальной работой и представлены впервые на рассмотрение только в этом Журнале и ранее не публиковались. Если материалы написаны совместно с соавторами, автор гарантирует, что проинформировал их относительно условий публикации материалов и получил их подписи или письменное разрешение подписываться от их имени.
  • Если в материалы включаются отрывки из работ или имеются указания на работы, которые охраняются авторским правом и принадлежат третьей стороне, то автору необходимо получить разрешение владельца авторских прав на использование таких материалов в первом случае и сделать ссылку на первоисточник во втором.
  • Автор гарантирует, что материалы не содержат клеветнических высказываний и не посягают на права (включая без ограничений авторское право, права на патент или торговую марку) других лиц и не содержат материалы или инструкции, которые могут причинить вред или ущерб третьим лицам. Автор (каждый соавтор) гарантирует, что их публикация не приведет к разглашению секретных или конфиденциальных сведений (включая государственную тайну). Подтверждением этого является Экспертное заключение (см. перечень документов в Правила для авторов).
  • Издатель обязуется опубликовать материалы в случае получения статьей положительного решения редколлегии о публикации на основании внешнего рецензирования (см. Политика рецензирования).
  • В случае публикации статьи на английском языке в журнале «Radioelectronics and Communications Systems» (Издатель: Аллертон Пресс, США, распространитель Springer) автору (соавторам) выплачивается гонорар после выхода последнего номера журнала года, в котором опубликована данная статья.
  • Документ Согласие на публикацию, который подают русскоязычные авторы при подаче статьи в редакцию, является краткой формой данного договора, в котором изложены все ключевые моменты настоящего договора и наличие которого подтверждает согласие автора (соавторов) с ним. Аналогичным документом для англоязычных авторов является Copyright Transfer Agreement (CTA), предоставляемый издательством Allerton Press.
  • Настоящий Договор вступает в силу в момент принятия статьи к публикации. Если материалы не принимаются к публикации или до публикации в журнале автор (авторы) отозвал работу, настоящий Договор не приобретает (теряет) силу.